Вернуться на методику финансовая математика

Статистические параметры

Дисперсия

Полученные из опыта величины неизбежно содержат погрешности, обусловленные самыми разнообразными причинами. Среди них следует различать погрешности систематические и случайные. Систематические ошибки обусловливаются причинами, действующими вполне определенным образом, и могут быть всегда устранены или достаточно точно учтены. Случайные ошибки вызываются весьма большим числом отдельных причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Эти ошибки невозможно совершенно исключить; учесть же их можно только в среднем, для чего необходимо знать законы, которым подчиняются случайные ошибки.

Будем обозначать измеряемую величину через А, а случайную ошибку при измерении х. Так как ошибка х может принимать любые значения, то она является непрерывной случайной величиной, которая вполне характеризуется своим законом распределения.

Наиболее простым и достаточно точно отображающим действительность (в подавляющем большинстве случаев) является так называемый нормальный закон распределения ошибок:

Этот закон распределения может быть получен из различных теоретических предпосылок, в частности, из требования, чтобы наиболее вероятным значением неизвестной величины, для которой непосредственным измерением получен ряд значений с одинаковой степенью точности, являлось среднее арифметическое этих значений. Величина ² называется дисперсией данного нормального закона.

Среднее арифметическое

Определение дисперсии по опытным данным. Если для какой-либо величины А непосредственным измерением получено n значений a_i с одинаковой степенью точности и если ошибки величины А подчинены нормальному закону распределения, то наиболее вероятным значением А будет среднее арифметическое:

, где

a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a_i - измеренное значение на i-м шаге.

Отклонение наблюдаемого значения (для каждого наблюдения) a_i величины А от среднего арифметического: a_i - a.

Для определения дисперсии нормального закона распределения ошибок в этом случае пользуются формулой:

, где

² - дисперсия,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a_i - измеренное значение на i-м шаге.

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического. В соответствии с формулой для меры точности линейной комбинации средняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

, где

- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a_i - измеренное значение на i-м шаге.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического:

, где

V - коэффициент вариации,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое.

Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Среднее линейное отклонение

Один из показателей размаха и интенсивности вариации - среднее линейное отклонение (средний модуль отклонения) от среднего арифметического. Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:

, где

_
a - среднее линейное отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a_i - измеренное значение на i-м шаге.

Для проверки соответствия исследуемых значений закону нормального распределения применяют отношение показателя асимметрии к его ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.

Показатель асимметрии

Показатель асимметрии (A) и его ошибка (m_a) рассчитывается по следующим формулам:

, где

А - показатель асимметрии,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a_i - измеренное значение на i-м шаге.

Показатель эксцесса

Показатель эксцесса (E) и его ошибка (m_e) рассчитывается по следующим формулам:

, где

Е - показатель эксцесса,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a_i - измеренное значение на i-м шаге.

Если А < 0 то это означает, что преобладают данные с большими значениями, а если А > 0, то больше данных с меньшими значениями, чем среднеарифметическое.

Если Е < 0 то данные более равномерно распределены по всей области значений, если Е > 0, то данные сконцентрированы около среднеарифметического значения.

При отношении А/m_a и E/m_e меньше 3 анализируемая информация подчиняется закону нормального распределения.

На тему этой методики существуют примеры задач на расчет среднего арифметического, дисперсии, вариации, среднеквадратического отклонения с решениями.

Программная реализация данной методики финансовой математики произведена в: "Альтаир Финансовый калькулятор 2.xx".

На примере расчета среднего арифметического, дисперсии, вариации, среднеквадратического отклонения можно увидеть, как применять программу "Альтаир Финансовый калькулятор 2.xx" на практике.

Главная Методики финансового и инвестиционного анализа Финансовая математика Статистические параметры
Copyright  © 2021 by Altair Software Company. Потенциальным спонсорам программ и проекта.
 

Добавить сайт "Инструменты финансового и инвестиционного анализа" в Избранное/Закладки